15-02-2009

Risk

Kansrekening

Iedereen kent wel het bordspel Risk. Het is een spel waarbij je de wereld moet veroveren. Er zit een kanselement in; het verloop van de veldslagen wordt bepaald door de dobbelstenen. Dat gaat als volgt: de aanvallende partij heeft drie dobbelstenen tot zijn beschikking, de verdedigende partij slechts twee. Het aantal te gebruiken dobbelstenen hangt uiteraard af van het aantal legers waarmee je aanvalt. Het aantal legers dat beide partijen verliezen wordt als volgt bepaald:

De "realisaties" van de aanvaller en verdediger worden geordend van hoog naar laag. Wanneer de hoogste worp van de aanvaller hoger is dan de hoogste worp van de verdediger, dan wint de aanvaller en verliest de verdedigende partij een leger. In de andere gevallen verliest de aanvallende partij een leger. Dit proces wordt eventueel herhaald voor de één-na-hoogste worp. Uiteindelijk gaan er één of twee legers af.

Simpel voorbeeld
Je kan je natuurlijk de vraag stellen hoe je kansen liggen in alle gevallen. Die kansen laten zich niet gemakkelijk berekenen, omdat het al gauw complex wordt. Daarom eerst een simpel rekenvoorbeeld. Het simpelste geval is de 1:1-situatie. Eén aanvaller tegen één verdediger. Deze situatie is duidelijk nadelig voor de aanvaller: hij moet per se hoger gooien dan de verdediger. Dit lukt in 15 van de 36 gevallen. De verdediger zegeviert dus in de overige 21 gevallen.
Dit is simpel voor te stellen in een tabel van 6 bij 6 vakjes, waarbij elk vakje een uitkomstcombinatie voorstelt. (1,1) is dan de uitkomst dat zowel de aanvaller als verdediger één gooit. Als de aanvaller één gooit, kan hij ongeacht wat de verdediger doet al inpakken, gooit hij twee, dan wint hij in één van de zes gevallen enz. In totaal wint hij dus vijftien keer. (0+1+2+3+4+5)

Valkuil
Jarenlang dacht ik dat ik uit deze uitkomst simpel kon herleiden hoe de situatie was als de aanvallende partij met TWEE dobbelstenen mocht gooien. "Het aantal ogen van die dobbelstenen is onafhankelijk van elkaar, dus ik vermenigvuldig die kansen effe..." Ofwel, in formules:

 P(winst) = 1- (21/36)(21/36) = 1- 441/1296 = 855/1296.
 Ofwel, ik berekende de complementaire kans en die kwadrateerde ik en vervolgens nam ik daar weer de complementaire kans van. ;) Dit is echter FOUT. :(

Onlangs begon er een lampje bij mij te branden: de worpen zijn misschien wel onafhankelijk van elkaar, maar dat doet hier niet ter zake. De waarde van een extra worp hangt juist wel af van wat je verdediger gooit. Gooit hij één, dan kan je hem met één dobbelsteen waarschijnlijk wel aan, maar gooit hij zes, dan heb je niks meer aan extra dobbelstenen. Aangezien de kans dat de verdediger zes gooit 1/6 is, is de kans dat de verdediger wint altijd minimaal 1/6.

Het kansmodel waarmee ik rekende voldoet dus niet. Dat is goed te zien als je met echt veel dobbelstenen gaat gooien. Met een miljoen aanvalsdobbelstenen zou de kans dat de aanvaller wint volgens de formule vrijwel gelijk aan 1 zijn, hoewel we net zagen dat het nooit meer kan zijn dan 5/6.

Daarom ging ik de zaak bij de wortel aanpakken. Voor de situatie dat er twee aanvallende dobbelstenen zijn en één verdedigende, beschouwen we de twee aanvalsdobbelstenen als één dobbelsteen, die een aangepaste kansverdeling heeft. Deze is als volgt:
 
i - # ogen dobbelsteen 1
j - # ogen dobbelsteen 2
k - maximum van i en j

k = max{i,j}

De kans dat k < n (n = 1,...,6) is makkelijk te berekenen.

P(k<n) = n²/36 en
P(k=n) = (n²-(n-1)²)/36

Dit levert een mooie reeks op; de kans dat het maximum één is, is (1/6)(1/6) = 1/36. De kans dat het maximum twee is, is (2/6)(2/6) min de kans dat het maximum één is (1/6)(1/6). De twee dobbelstenen zijn nu als het ware een dobbelsteen geworden met 36 vlakken, waarvan maar één vlak met "1", drie met "2", vijf met "3", enz. Wanneer deze dobbelsteen - met een hogere kans op de hogere ogen - het opneemt tegen de "gewone" verdedigende dobbelsteen, dan nemen de kansen voor de aanvaller toe. De aanvaller heeft zelfs een grotere kans om te winnen dan de verdediger: de winstkans bedraagt ongeveer 58 procent.

Hoe de kansen voor de aanvaller liggen als hij n dobbelstenen tot zijn beschikking heeft en de verdediger het maar met één moet doen, laat zich als volgt berekenen:

Pw(i) = kans dat aanvaller wint met i ogen
Pmax i,n) = kans dat de hoogste worp i is als je n keer gooit
Pgem(i,n) = "gewogen" winstkans bij i ogen in n worpen
Ptot(n) = totale winstkans bij n worpen

In formules:
Pw(i) = (i-1)/6
Pmax(i,n) = (i^n/6^n) - ((i-1)^n/6^n)
Pgem(i,n) = Pw(i) * Pmax(i,n)
Ptot(n) = Som (i = 1 t/m 6) Pgem(i,n)

De kans dat de aanvaller wint met i ogen hangt alleen af van i, de kans dat de aanvaller maximaal i ogen gooit hangt af van het aantal dobbelstenen dat je gebruikt. Voor n groot is de kans op een "6" als hoogste getal vrijwel gelijk aan "1". De andere termen zijn dan bijna nul, dus dat scheelt in de vierde formule (het sommeren) werk. De totale winstkans is dan ongeveer 1 maal de kans dat die zes ook wint van wat de verdediger tentoonspreidt. Die kans is 5/6, dus dat is de totale kans.

Voor n = 3 is de winstkans ongeveer 66 procent, gelijk aan de waarde die ik oorspronkelijk voor n = 2 had gerekend. Ik vraag me af of dit toeval is.

Voor het overzicht heb ik nog een Excel-file:

Download Riskkansberekening.xls

Ik hoop dat het een leerzaam artikel was. ;) 

Gerelateerde artikelen:
Risk; 19-05 2007

5 opmerkingen: