18-02-2009

Risk, het vervolg

Meerdere dobbelstenen

Hoe de kansverdelingen liggen wanneer beide partijen met meerdere legers aanvallen, ga ik nu uit de doeken doen. In de volgende gevallen verdedigt de verdediger steeds met TWEE dobbelstenen.

Eén aanvaller
Wanneer de aanvaller met maar één dobbelsteen mag gooien, zijn zijn kansen gering. Hij moet twee dobbelstenen overtreffen. De kans dat hij met zijn worp het aantal ogen op de eerste worp van de verdediger overschrijdt, is als volgt:

Worp, kans
1 0
2 1/6
3 2/6
4 3/6
5 4/6
6 5/6

De kans dat hij ook hoger gooit dan de tweede dobbelsteen, is precies hetzelfde. Deze gebeurtenissen zijn wel onderling onafhankelijk. De totale kans is dus de som van het kwadraat van de kansen. Daarna moet er natuurlijk nog gedeeld worden door 6, omdat de kans 1/6 is dat de aanvaller een bepaald aantal ogen gooit. Dit is dus (0+ 1/36+ 4/36+ ...+ 25/36)/6 = 55/216. Op dezelfde manier is de kans die één verdediger heeft tegen twee aanvallers 91/216, precies 36/216 (1/6) meer.

Twee aanvallers
Bij twee aanvallers wordt het complexer. De hoogste worp van de aanvaller moet worden vergeleken met de hoogste worp van de verdediger. Hetzelfde moet gebeuren bij de laagste worp. Hier komt Excel om de hoek kijken:

A1 = eerste worp aanvaller
A2 = tweede worp aanvaller
V1 = eerste worp verdediger
V2 = tweede worp verdediger

Amax = max{A1,A2}
Amin = min{A1,A2}

Vmax = max{V1,V2}
Vmin = min{V1,V2}

Voor elke dobbelsteencombinatie (A1,A2,V1,V2) komt de volgende formule:

Als (Amax > Vmax; 1; 0) + Als (Amin > Vmin; 1; 0)

Deze formule berekent de "winst" van de aanvaller; bij "2" verslaat hij twee legers, bij "0" verliest hij er 2 en bij "1" verliezen beide spelers één leger. Door de functie "aantal.als" (niet "som.als"!!) kun je vrij eenvoudig bijhouden hoe vaak elke uitslag voorkomt.

In alle 1296 (6*6*6*6) gevallen komt de aanvaller in 295 gevallen (23%) als winnaar uit de bus. De verdediger houdt in 581 gevallen (45%) stand en in 420 gevallen (32%) lopen beide partijen averij op. De "verwachte" winstkans van de aanvaller is 0,78; hij maakt gemiddeld 0,78 legers in. Omdat er altijd twee legers sneuvelen, verliest de aanvaller gemiddeld 1,22 legers.


Download Riskkansen2.xls

Drie aanvallers
Met drie aanvallers begint het pas echt spannend te worden. De berekening wordt erg complex, want er zijn nu ineens DRIE aanvallende dobbelstenen en je hebt in een plat vlak maar twee dimensies. Daarnaast is het vergelijken een probleem. Ook nu worden de hoogste worpen met elkaar vergeleken, maar nu moet de middelste worp van de aanvaller vergeleken worden met de laagste worp van de verdediger. Gelukkig is er een formule voor de middelste waarde bij drie getallen:

Agem = A1+A2+A3 - max{A1,A2,A3} - min{A1,A2,A3}

Zodoende hebben we in feite nog maar rekening te houden met TWEE aanvalsdobbelstenen en niet DRIE, want we zijn alleen geïnteresseerd in het maximum en de middelste uitkomst.

Voor alle uitkomsten van de aanvaller (A1,A2,A3) heb ik het maximum en de middelste uitkomst bepaald en ik heb hetzelfde gedaan bij de verdediger (maximum en minimum in dit geval). Er blijft dan een enorme tabel van 36 bij 216 vakjes over, waarvoor bijna dezelfde formule als bij 2-2 werd toegepast:

Als (Amax > Vmax; 1; 0) + Als (Agem > Vmin; 1; 0)

Van de 7776 even waarschijnlijke mogelijkheden zijn 2890 gunstig voor de aanvaller (37%), 2275 zijn gunstig voor de verdediger (29%) en in 2611 mogelijkheden verliezen ze allebei een leger (34%). De aanvaller zal gemiddeld 1,08 legers inmaken, de verdediger gemiddeld 0,92. Er is dus sprake van een voordeel(tje) voor de aanvaller.


Download Riskberekening.xls

Helaas is dit niet het eind van het verhaal. De kansverdelingen op Wikipedia komen steeds goed overeen, behalve in de laatste berekening. Het verschil is enkele procenten. Ik ben er niet uit waar het aan ligt, dus vind de oorzaak en ik zal je eeuwig dankbaar zijn.
 
Risk op Wikipedia

Tot slot een samenvatting:
 
Download RiskSamenvatting.xls

Gerelateerde artikelen:
Risk; 15-02 2009

3 opmerkingen: