03-01-2009

Schuld

Bieb
 
Stel: je ruimt je zolder op en ineens komt er een oude doos tevoorschijn. Nieuwsgierig als altijd open je de doos en wat je aantreft zijn... BOEKEN! Stoffige, ouwe boeken. Maar dan komt de grap: de boeken zijn niet van jou, maar van de bibliotheek! Op een vergeeld kaartje staat in het rood een datum: 28 juni 1988. In het volgende boek ook. En het volgende ook... Wat moet je doen? Met het schaamrood op de kaken de boeken inleveren?

Daarom ga je maar (voor de lol) uitrekenen hoeveel dit geintje je kost. De boeken komen uit twee verschillende bibliotheken: het ene deel komt uit de schoolbibliotheek, waar de boete vrij schappelijk is, namelijk een dubbeltje per dag. De andere boeken komen uit de stadsbibliotheek en die boete bedraagt € 2,50 per week. De bibliotheken waren hun tijd al ver vooruit en rekenden al in 1988 in euro's. De boetes zijn in de tussentijd niet verhoogd.

De kosten per jaar zijn dus ongeveer € 36,50 per boek in de schoolbibliotheek en € 130,- in de stadsbibliotheek. In twintig jaar is dat natuurlijk al tot een groot bedrag aangegroeid, maar gelukkig is dat bedrag door inflatie al een stuk minder geworden. De inflatie bedroeg over de periode 1988-2008 vijf procent en dat zal in de toekomst zo blijven.

Je vraagt je dus af vanaf welk moment de "waarde" van de schuld kleiner wordt. Tot die tijd is het in ieder geval niet lonend om de boeken in te leveren. Het jaar waarin je schuld (per boek!) niet meer toeneemt is te vinden door de volgende formule:


boete per jaar/totale boete = rentevoet

1) In welk jaar zal de schuld niet meer toenemen?
2) Is het dan optimaal om de boeken in te leveren?

Dat kan natuurlijk exacter. Daarom gaan we het continue probleem oplossen. De functie W(x) geeft de waarde aan van de schuld.


W(x) = ax g^x

Waarbij a de boete per boek per jaar is en g de waardevermindering van de schuld is. Dit is niets anders dan 1/(1+rentevoet). En x is natuurlijk de tijd in jaren.

Het maximum wordt natuurlijk gevonden door W'(x) = 0 op te lossen.

3) Toon aan dat de ligging van dit omslagpunt alleen afhangt van de rentevoet en niet van de hoogte van de boete.

4) Wat is de exacte positie van het buigpunt?

5) Wat moet je doen? De boeken direct inleveren of wachten?

Dit was een vraagstuk dat ik voor de lol bedacht. Succes met oplossen! ;)

Gerelateerde artikelen:

De wereld vergaat niet volgens economen; 06-11 2008

12 opmerkingen: